про дощ
Апрель 21st, 2008
роздуми з приводу http://krystoferivanov.blogspot.com/2008/04/blog-post.html
моя модель дещо інша. отже, є дощ, тобто, потік води, що тече зверху. ми вважаємо, що дощ є рівномірним, іншими словами, концентрація води у об’ємі є однаковою в усіх точках. (ми знаємо, що дощ падає зверху вниз, тобто, його дискретні одиниці – краплини – з певною швидкістю переміщуються зверху вниз, алеїх кількість одиниці об’єму є сталою). для простоти вважатимемо, що дощ іде строго вертикально і його інтенсивність у часі не змінюється. є людина, яка у цьому дощі переміщається у напрямку, перпендикулярному до напрямку падіння краплин. людина є об’ємним тілом. розглянемо проекції цього тіла на площину, перпендикулярну напрямку падіння краплин (перша) та на площину, перпендикулярну переміщенню людини (друга). позначимо їх як S1 та S2. (зазначимо, що S2 більше, ніж S1, хоч для поточних міркуваннь це несуттєво). кількість води, яка буде падати на людину, буде складатися із кількостей води, що падає на S1 (ллється зверху) та наS2 (та кількість води, яка знаходиться у об’ємі простору, через який людина проходить за певний час). зазначимо наступне: (1) доки людина стоїть, на неї потрапляє тільки вода, що падає на S1. загальна кількість такої води пропорційна часу, який людина знаходиться під дощем і не залежить від напрямку та швидкості руху людини; (2) на площу S2 вода потрапляє тільки за умови, що людина рухається, виходячи з умови рівномірності дощу, її кількість визначається як «концентрація» дощу у об’ємі простору, помножена на відстань, яку людина подолала незалежно від часу (а відповідно – від швидкості переміщення). Таким чином, кількість води, яка потрапила на людину протягом певного часу можна визначити за рівнянням:
Q = k1 * S1 * t + k2 * S2 * l (k1, k2 – певні константи, S1, S2 – розглянуто вище, t – час, l – відстань, яку людина пройшла за час t)
оскільки нас цікавить залежність цієї величини від швидкості, а не від часу, замінимо t на v/l (v – швидкість переміщення людини):
Q = k1 * S1 * l / v + k2 * S2 * l
Зазначимо, що в даній ситуації l варто розглядати як константу (скажімо, це буде шлях від місця, де вас застав дощ до дому, де чекає тепла ковдра і гаряче вино 
). Питання буде у тому, з якою швидкістю необхідно переміщуватися, аби якомога менше намокнути, тобто отримати найменшу Q дощу. Математично це зводиться до необхідності знайти нуль першої похідної функції Q(v). Легко бачити, що
Q’(v) = – k1 * S1 * / v ^ 2
а отже – отримана функція на проміжку [0 - нескінченність] не має нуля. Зазначимо, що вихідна функція Q(v) на цьому інтервалі значень v монотонно спадає.
Таким чином, для того, щоб менше намокнути, необхідно якомога швидше дістатися сухого місця 
